Построение вписанной в треугольник окружности по точкам касания


По определению, вписанной в треугольник окружностью является окружность, касающаяся всех его сторон. Она наибольшая из тех, которые могут разместиться внутри треугольника. Центр этой окружности называется инцентром треугольника и расположен на пересечении его биссектрис. Перпендикуляры, восстановленные из сторон треугольника в точках касания вписанной окружности, тоже пересекаются в инцентре. На этом свойстве основан предлагаемый метод построения вписанной окружности.

Вначале рассмотрим классический алгоритм построения, осуществляемый в два этапа. Первый шаг построения - проведение биссектрис углов треугольника (достаточно задействовать всего два угла) для определения центра окружности. На втором этапе определяется радиус вписанной окружности. Из точки пересечения биссектрис проводится перпендикуляр к одной из сторон треугольника. Длина полученного отрезка равна искомому радиусу. Раствором циркуля равным этой величине строится вписанная окружность. Не сложно подсчитать минимальное количество проведенных линий в данном построении. Их всего 12, по 4 на построение двух биссектрис, 3 - на перпендикуляр и одна собственно на проведение самой окружности.

Второй вариант построения базируется на окружности, проведенной из инцентра треугольника через вершину одного из его углов, позволяющей определить местоположение точек касания вписанной окружности. Пусть в треугольник АВС (см. рис. 1) вписана окружность с центром О на пересечении биссектрис углов А и С. Соединим точки ее касания K, T и L сторон треугольника с инцентром. Согласно свойству касательной проведений к окружности, отрезки ОК, ОТ и ОL равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам треугольника.

Проведем дополнительно окружность из точки О радиусом ОВ т. е. проходящую через вершину наибольшего угла треугольника. Она отсекает три равные хорды А1С1, А2В и ВС2 на сторонах треугольника в виду концентричности вписанной окружности. Дополнительную окружность можно проводить через любую вершину треугольника. В этом случае придется продолжить его стороны (сторону), так как будем иметь дело с окружностью большего диаметра. Соединим инцентр треугольника с концами хорды А1С1. Прямоугольные треугольники А1ОТ и С1ОТ равны согласно тому, что гипотенузы А1О и С1О радиусы дополнительной окружности, а катет ОТ – общий. Следовательно точка Т середина, а ТО серединный перпендикуляр хорды А1С1. Аналогичным образом доказывается: ОК и ОL серединные перпендикуляры к двум другим хордам. Таким образом, середины хорд являются точками касания вписанной в треугольник окружности.

В треугольниках АОВ и АОС1 стороны ОВ и ОС1 радиусы дополнительной окружности, АО общая сторона и биссектриса угла ВАС. Тогда согласно равенству этих треугольников, отрезок АС†равен стороне АВ. В свою очередь отрезок А1С равен стороне ВС, ввиду сходного равенства треугольников А1ОС и ВОС.

Следствием вышеизложенного является возможность построения крайних точек хорды на стороне треугольника путем засечек дугами радиусами равными боковым сторонам из вершин прилежащих углов. Затем из вершины противолежащего стороне угла на одной из боковых стон откладывается длина второй хорды. Точка пересечения серединных перпендикуляров к полученным хордам – центр вписанной окружности.

Построение в произвольно заданный треугольник АВС вписанной окружности изображено на рис. 2. На стороне АС (наибольшей, как на наиболее удобной) из вершины А дугой радиусом АВ делаем первую засечку в точке С1, а из вершины С дугой радиусом СВ – вторую в точке А1. К полученному отрезку А1С1 восстанавливаем серединный перпендикуляр. Раствором циркуля равным А1С1 из вершины В проводим дугу пересекающую например, сторону ВА в точке А2. Тем же раствором циркуля из точки А2 через вершину В опишем вторую дугу. Соединяем точки пересечения дуг прямой, получаем второй серединный перпендикуляр. Из точки пересечения перпендикуляров радиусом равным ОТ опишем искомую вписанную в треугольник окружность.

Определим количество линий примененных в данном построении. Пять на восстановление первого серединного перпендикуляра, три линии для второго и одну на проведение вписанной окружности. Всего девять. Если сравнивать два метода построения вписанной окружности по этому показателю – преимущество за последним.

Заключительный вывод: предлагаемое построение следует рассматривать в обучении наряду с общеизвестным методом.

13.04.2015 г. /Стрижак Василий Васильевич/ г. Речица, Гомельская обл.
21:52 03.11.2017



Отзывы и комментарии
Ваше имя (псевдоним):
Проверка на спам:

Введите символы с картинки:



Интересное

Как заниматься с детьми раннего возраста?

Ранний возраст (1−3 года) очень продуктивен для малыша. В этот период его мозг активен как ник...

Чем питаться после травмы зимой?

Зима — крайне травмоопасный период. Тем, кому не повезло, приходится тратить много времен...

"Союз лиры и швейной машинки". О ком это было сказ

Французский художник Джеймс Тиссо написал портрет членов аристократического клуба «Общество ул...

Рабочие Станции - Пневмоавтоматика, Гидроавтоматик

Рабочие станции по пневматике (NOVA YL-380) и гидравлике (NOVA YL-381) предназначены для подготовки ...

Остров Попова 2016

С Владивостока до острова Попова в летний период ходит катер и паром. Цена поездки смешная - 54 рубл...

Ощутить Валенсию днём и ночью – лучшая возможность

Изучать язык в среде его носителейВаленсия. Любому известно, что языки изучаются в школе, делая упра...

Надежная и недорогая стоматология в ЮЗАО: миф либо

С сегодняшним жизненным темпом тяжело найти несколько часов на визит в бесплатную больницу, существе...

Прихожая – проекты

В новом веке прихожая давно перестала быть одним из самых темных и тесных мест дома. Она не только в...

Построение отрезка равного числу Пи и решение квдр

Геометрия, как наука, начала формироваться около четырех тысяч лет назад и явилась следствием потреб...

Кинезио тейп пластырь из Кореи или Китая - что выб

Когда человек хочет начать активно пользоваться кинезио тейпами, у него возникает вопрос – как...



О портале:

Наш веб-портал сделан для читателей, желающих без остановки совершенствоваться во всех сферах жизни. Каждый для себя найдет что-то интересное и подчеркнет из статьи полезные вещи. На сайте описано огромное количество моментов, которым в повседневной жизни вы найдете практическое применение. Отсутствие навязчивой рекламы, политики и новостных лент, наличие легкого юмора и полезных рассказов делает наш сайт удобным для чтения.

Занимательная и познавательная информация, которая сгенерированна на нашем ресурсе дает возможность ответить на отдельно интересующие вас вопросы. Для того, чтобы каждый посетитель на нашем портале смог в кротчайшие сроки отыскать нужную, для него информацию, мы максимально упростили интерфейс и улучшили систему поиска необходимой статьи. Теперь нет причины расходовать солидное количество времени для поиска ответа на интересующий вас вопрос.